数学公式速记

常用等价无穷小

常用结论1

泰勒展开

常见数列前项的和

海涅定理（归结原则）

有时在求数列极限时直接不方便求，那么可以想到洛必达法则、泰勒展开等，但是这些公式只存在于函数当中，由于数列是离散的故无法求。此时我们可以将数列理解为下标为整数的函数，将数列极限与函数极限联系起来，这便是海涅定理。以下是定义解释：

设在内有定义，则 存在对任何内以为极限的数列 ，极限

以下有一些常用实例：

1. 当 时，取 ，即若 ，则
2. 当 时，取 ，即若 ，则
3. 当 时，取 ，即若 ，则

常用结论2

若有一个函数 ，那么其函数值一定小于等于各分段表达式绝对值相加，即

重要不等式

1. 设均为实数，那么有 。

   以上不等式也可以推广为个实数的情形，即
   

3. 设 ，则

4. 若 ，则

7. 当 时，

8. 当 时，

压缩映射原理

原理一

对数列，若存在常数 ，使得 则收敛于.

原理二

对数列，若 可导，是 的唯一解，且对任意 ，有 ，则收敛于

常用结论3（绝对值与可导性的关系）

若在 处连续，同时 ，则 ，是在 处可导的充分必要条件。

常用结论4（绝对值的可导性）

1. 若，则在处不可导。
2. 若，则在处可导。

反函数的导数

反函数的一阶导数

设 为单调、可导的函数，且 ，则存在反函数 ，且 ，即 .

反函数的二阶导数

在 单调，且二阶可导的情况下，若 ，则存在反函数 ，记 ， ，则有

极值点的判断

必要条件

设在 处可导，且在点处取得极值，则必有 .

第一充分条件

设在 处连续，且在的某去心邻域 内可导.

1. 若 时， ，而 时， ，则在 处取得极小值.
2. 若 时， ，而 时， ，则在 处取得极大值.
3. 若在 和 内不变号，则点不是极值点.

第二充分条件

设在 处二阶可导，且 .

1. 若 ，则在处取得极大值.
2. 若 ，则在处取得极小值.

第三充分条件

设在 处阶可导，且 ，则

1. 当为偶数且 时，在处取得极大值.
2. 当为偶数且 时，在处取得极小值.

拐点的判断

必要条件

设存在，且点为曲线的拐点，则 .

第一充分条件

设在点 处连续，在点 的某去心邻域内二阶导数存在，且在该点的左、右邻域内变号，则点为曲线的__拐点__.

第二充分条件

设在 处三阶可导，且 ，则点为曲线的拐点.

第三充分条件

设在处阶可导，且 ，则当为奇数时，点为曲线的拐点.

极值点和拐点的重要结论

1. 曲线的可导点不可同时为极值点和拐点；曲线的不可导点可同时为极值点和拐点.

2. 设多项式函数 ，且 ，则当为偶数时， 是的极值点；当为奇数时，点是曲线的拐点.

3. 设多项式函数 ，其中是正整数，是实数且两两不等， .

   记为 的个数，为 且为偶数的个数，为 且为奇数的个数，则的极值点个数为 ，拐点的个数为 .

函数对称性判断

1. 若 或 ，则 关于 对称.
2. 若 或 ，则 关于 对称.
3. 若 ，则 关于点dui’ch

常见平面曲线

1. 心形线（外摆线的一种）

设 ，心形线的常见极坐标方程为

2. 星形线（内摆线的一种）

设 ，星形线可以表示为

3. 摆线（平摆线）

设 ，圆沿轴正方向滚动时，圆周上一点的轨迹为平摆线，其参数方程为

曲率

若我们分别用和来表示一个函数在某点的曲率和曲率半径，则有以下公式：

常用结论5（积分，函数，导数关系）

我们常已知积分，函数，导数中的一个或多个来推导其他，此时我们可以巧妙地运用一些已知的推论来找到两者之间的关系。

• ：使用定积分\积分中值定理
• ：使用拉格朗日中值定理
• ：使用泰勒公式

辅助函数构造

1. 乘积求导公式逆用
2. 商的求导公式逆用
   • ，故

常用结论6（罗尔定理及其推论）

若 至多有个根，则 至多有 个根

常用结论7（零点定理推广）

对于任意最高阶为奇次的方程 至少有一个实根

常用结论8（不定积分存在定理）

1. 连续函数必有原函数
2. 含有第一类间断点和无穷间断点的函数在包含该间断点的区间内比没有原函数
3. 含有振荡间断点的函数无法判断是否有原函数

积分中值定理

若函数在区间上连续，则至少存在一点 ，使

达布定理

在上可导， ，则对任意介于与之间的，存在 ，使得

定积分精确定义

若将式中特殊化为这两个数，得出来的形式会更加简单：

定积分存在条件

充分条件

1. 若在上连续，则存在
2. 若在上单调，则存在
3. 若在上有界，且只有有限个间断点，则存在
4. 若在上有有限个第一类间断点，则存在

必要条件

可积函数必有界，即若定积分存在，则在上必有界

变限积分

函数在上连续，则函数 在上可导且

常用结论9（反常积分敛散性判断）

基本积分公式

常用换元法

1. 三角函数代换

2. 恒等变形后作三角代换——当被积函数含有类似这样的形式时，可以先化为以下几种形式再进行三角代换：
   

3. 根式代换——当被积函数含有根式等时，一般令根式 。对既含有,也含有的函数，一般取,的最小公倍数，令

4. 倒代换——当被积函数分母的幂次比分子高两次及以上时，可作倒代换，令

有理函数的积分

若在实数域内可因式分解，则因式分解后再把拆成若干项最简有理分式之和。其中最简有理分式为：

拆分方法：

1. 的一次单因式 产生一项
2. 的重一次因式 产生项，分别为
3. 的二次单因式 产生一项
4. 的重二次因式 产生项，分别为

比如， ,则有

华莱士公式（三角相关定积分）

常用结论10

变限积分求导公式

设 ，其中在上连续，可导函数和的值域在上，则在函数和的公共定义域上，有

函数

定义： ，令 ，

递推式： ，其中 ，故

用定积分表达和计算旋转体的体积

1. 曲线 与 及轴围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为：

2. 曲线 与 及轴所围成的去边梯形绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为：
   

3. 平面曲线绕定直线旋转

   平面曲线 ，且可导

   定直线 ，且过的任一条垂线与至多有一个交点，则绕旋转一周所得旋转体的体积为:
   

“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式

设平面区域 在上连续，则的形心坐标的计算公式为：

平面曲线的弧长

1. 若平面光滑曲线由直角坐标方程 给出，则
2. 若平面光滑曲线由参数方程 给出，则
3. 若平面光滑曲线由极坐标方程 给出，则

旋转曲面的面积（侧面积）

本质只在弧长公式基础上多乘了

1. 曲线 绕轴旋转一周所得旋转曲面的面积：
   

2. 曲线 绕轴旋转一周所得旋转曲面的面积：
   

3. 曲线 绕轴旋转一周所得旋转曲面的面积：
   

抽水做功问题

设为水的密度，为重力加速度，则将某容器中的水全部抽出所做的功为：

古鲁金第一定理

如果一条平面曲线 绕同一平面内的一条轴旋转一周，并且旋转轴不与曲线相交，那么生成的旋转曲面的面积等于：

其中为形心到旋转轴的距离

古鲁金第二定理

类似古鲁金第一定理，讲的是旋转体的体积：

可微的条件

必要条件

若函数 在点处可微，则该函数在该点处的偏导数必存在

充分条件

若函数 在点处的偏导数存在且连续，则该函数在点处可微

隐函数存在定理

隐函数存在定理1

对于由方程 确定的隐函数 ，当 时，则有

隐函数存在定理2

对于由方程 确定的隐函数 ，当 时，则有

二元函数的拉格朗日定理

设定义在区域上，且 ，则 （常数），

无条件极值

二元函数取极值的必要条件

设 在点处，则

注：偏导数不存在的点也可能是极值点

二元函数取极值的充分条件

设在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 ，记

条件最值（拉格朗日乘数法）

求目标函数 在下列约束条件下的最值：

可以使用以下方法：

1. 构造辅助函数

2. 令
   

3. 解上述方程组的备选点 ，并求，取其最大值为，最小值为

4. 根据实际问题，必存在最值，所得即为所求

轮换对称性

在直角坐标系下，若把与对调后，区域不变，则：

这就是轮换对称性，一般对于单独的或者较难计算，但是 较为简单的可采用轮换对称性

没有初等函数形式的原函数的式子

以下这些函数没有初等函数形式的原函数，一般需要先交换积分次序再进行积分

一阶线性方程的解

可分离变量型微分方程

1. 直接可以分离

   能写成 形式的方程称为可分离变量型微分方程，其解法为：
   

2. 换元后可分离

   形如 的方程，其中常数全都不为零，其解法为令 ，则 ，代入原方程得

齐次型微分方程

形如 的方程叫作齐次型微分方程。其解法为，令 ，则 ，于是原方程变为 ，即

一阶线性微分方程

形如 的方程叫作一阶线性微分方程，其中为已知的连续函数，其通解公式为：

伯努利方程

形如

的方程叫作伯努利方程，其中为已知的连续函数，其解法为

1. 先变形为
2. 令 ，得 ，则
3. 解此一阶线性微分方程即可

二阶可降阶微分方程

型（方程中不显含未知函数）

1. 令 ，则原方程变为一阶方程
2. 若求得其通解为 ，即 ，则原方程得通解为

型（方程中不显含自变量x）

1. 令 ，则原方程变为一阶方程
2. 若求得其通解为 ，则由 可得 ，分离变量得
3. 两边积分得 ，即可求得原方程的通解

型

此类型不显含，又不显含，可以参考第一种做法

全微分方程

若函数在单连通区域上具有一阶连续偏导数，且在内满足 ，则 是某二元函数的全微分，若一阶微分方程写成 的形式时，等式左端表达式是的全微分，则称该式为全微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程

对于 ，其对应的特征方程为 ，其对应的通解形式如下

1. 若 ，设是特征方程的两个不等实根，即 ，可得其通解为
   

2. 若 ，设是特征方程的两个相等的实根，即二重根，令 ，可得其通解为
   

3. 若 ，设 是特征方程的一对共轭复根，可得其通解为
   

二阶常系数非齐次线性微分方程

概念

方程 称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其中 为常数， 为已知的连续函数，叫作自由项。

解的结构

1. 若 是 的解， 是 的解，则 是 的解。

2. 设 都是 的特解，则 是对应齐次方程的解。

特解的设定

对于 ，设 分别为 的 次、 次多项式。

1. 当自由项 时，特解要设为 ，其中

2. 当自由项 时，特解要设为 其中： ，、 分别为 的两个不同的 次多项式，

通解

若 是 的通解， 是 的一个特解，则 是 的通解。

阶常系数齐次线性微分方程

1. 若 为单实根，写 ；

2. 若 为 重实根，写 ；

3. 若 为单复根 ，写 ；

4. 若 为二重复根 ，写 。

能写成： 形式的微分方程（欧拉方程）

形如 的方程称为欧拉方程，其中 与 为常数， 为已知的连续函数。

欧拉方程有固定的解法：

1. 当 时，令 ，则 ， ，于是 ， 。方程化为 ，即可求解（最后结果别忘了用 回代成 的函数）。

2. 当 时，令 ，同理可得。

常用结论11（级数性质）

若收敛，则 。反之则不一定成立

莱布尼兹判别法

给出一交错级数 若单调不增且 则级数收敛

幂级数运算法则

若幂级数与的收敛半径分别为和 ，则有

1. 为常数

周期为的傅里叶级数

设函数是周期为的周期函数，且在 上可积，则称

为的以为周期的傅里叶系数，称级数

为的以为周期的傅里叶级数，记作

周期奇延拓与正弦级数展开

(1)周期奇延拓

设 定义在 上，令

再令 为以 为周期的周期函数。

(2)正弦级数展开

---

周期偶延拓与余弦级数展开

(1)周期偶延拓

设 定义在 上，令

再令 为以 为周期的周期函数。

(2)余弦级数展开

平面束方程

平面束方程：设 ， 与 不成比例，则过直线

的平面束方程为

（不含 ），

或

（不含 ）。

常见二次曲面与柱面

以下均取 ， 为实常数。图形只画出曲面的有限部分，橙色曲线表示典型截痕；各图的坐标轴与表中方程对应。

二次曲面

曲面名称	标准方程	图形	识别要点与典型截痕
椭球面			三个平方项均为正，曲面封闭。沿 轴的半轴长分别为 ；平行于坐标面的非退化截痕为椭圆或圆。 时为球面。
单叶双曲面			两正一负，负号项对应轴为 轴；曲面连成一片，中间收腰。 的截痕总为椭圆或圆； 、 的截痕为双曲线。
双叶双曲面			一正两负，正号项对应轴为 轴；两叶分别向 轴正、负方向张开。 且 时截痕为椭圆或圆， 时为一点， 时无交点。 或 的截痕为双曲线。
椭圆抛物面			顶点为原点，沿 轴正方向张开，形似碗。 的截痕为椭圆或圆； 或 的截痕为抛物线。 时为旋转抛物面，例如 。
椭圆锥面			顶点为原点，沿 轴上下张开。 的截痕为椭圆或圆； 或 的截痕为两条相交直线。 时为圆锥面。
双曲抛物面（马鞍面）			两个平方项异号，沿两个方向一上一下弯曲。 时截痕为向上的抛物线， 时为向下的抛物线。 时为双曲线， 时为两条相交直线。
双曲抛物面（另一种形式）			仍为马鞍面，可由上一种形式旋转平面坐标并调整系数得到。 或 时截痕为直线； 时为双曲线， 时为 轴与 轴。沿 上弯，沿 下弯。

柱面

柱面是动直线沿准线平行移动形成的曲面。下面三种柱面的方程均不含 ，因此母线均平行于 轴，曲面沿 轴方向无限延伸。

曲面名称	标准方程	图形	准线与识别要点
椭圆柱面			在 平面内取椭圆为准线，沿 方向拉伸。任意 的截痕均为同样大小的椭圆。 时为圆柱面。
双曲柱面			在 平面内取双曲线为准线，沿 方向拉伸，形成两片曲面。任意 的截痕均为同一双曲线。
抛物柱面			在 平面内取抛物线为准线，沿 方向拉伸。开口朝 轴正方向；任意 的截痕均为同一抛物线。

旋转曲面

定义：曲线 绕一条定直线旋转一周所形成的曲面。

曲线 绕直线 旋转一周形成一个旋转曲面，旋转曲面方程的求法如下：

如图 17-1 所示，设 ，方向向量 。在母线 上任取一点 ，则过 的纬圆上的任意一点 满足条件

即

与方程 和 联立消去 ，便可得到旋转曲面的方程。

方向导数的计算公式

设三元函数 在点 处可微分，则 在点 处沿任一方向 的方向导数都存在，且

其中 为方向 的方向余弦。

是单位向量。

散度

定义：设向量场 ，则

叫作向量场 的散度。

散度表示向量场中某点向外（内）流动的强度。

旋度

定义：设向量场 ，则

叫作向量场 的旋度。

旋度描述向量场中向量旋转量的强度。

球坐标系

令

则 。

三重积分换元法

令

则

体心计算公式

对于空间物体，若体密度为 ， 是物体所占的空间区域，则计算重心 的公式为

由于三个公式的分母相同，因此只需计算一次即可。

转动惯量计算

对于空间物体，若体密度为 ， 是物体所占的空间区域，则计算该物体对 轴、 轴、 轴和原点 的转动惯量 和 公式分别为

引力计算

对于空间物体，若体密度为 ， 是物体所占的空间区域，则计算该物体对物体外一点 处的质量为 的质点的引力 公式为

第一型曲线积分

平面情形

1. 若平面曲线 由 （ ）给出，则 ，且

2. 若平面曲线 由参数式 （ ）给出，则 ，且

3. 若平面曲线 由极坐标形式 （ ）给出，则 ，且

空间情形

若空间曲线 由参数式 （ ）给出，则 ，且

第一型曲面积分

1. 一投：将 投影到某一平面（比如 面）上，设投影区域为 （比如 ）；

2. 二代：将 或 代入 ；

3. 三计算：计算 、，则 。

这就把第一类曲面积分化成了二重积分（比如化成关于 的二重积分），得到

第二型曲线积分

如果 由方程 （ ）给出，可以看作参数方程 于是有

格林公式

设平面有界闭区域 由分段光滑曲线 围成，、 在 上具有一阶连续偏导数， 取正向，则

使用条件：

1. 曲线 封闭；

2. 、 在区域 上具有一阶连续偏导数；

3. 曲线 取正向，即沿曲线行进时区域 始终位于左侧。

第二型曲面积分

基本方法——化为二重积分。

拆成三个积分（如果有的话），一个一个做：

高斯公式

设空间有界闭区域 由有向分片光滑封闭曲面 围成，、、 在 上具有一阶连续偏导数，则有公式

其中， 是 的整个边界曲面的外侧。

注意：

• 必须是封闭曲面，且取外侧方向。
• 、、 在 上具有一阶连续偏导数。
• ，即向量场的散度。
• 若曲面取内侧方向，则积分结果需要变号。

斯托克斯公式

设 为某空间区域， 为 内的分片光滑有向曲面片， 为逐段光滑的 的边界，它的方向与 的法向量成右手系，函数 、 与 在 内具有连续的一阶偏导数，则有斯托克斯公式：

其中 为 的单位外法向量。