数学公式速记

常用等价无穷小

常用结论1

泰勒展开

常见数列前项的和

海涅定理（归结原则）

有时在求数列极限时直接不方便求，那么可以想到洛必达法则、泰勒展开等，但是这些公式只存在于函数当中，由于数列是离散的故无法求。此时我们可以将数列理解为下标为整数的函数，将数列极限与函数极限联系起来，这便是海涅定理。以下是定义解释：

设在内有定义，则 存在对任何内以为极限的数列 ，极限

以下有一些常用实例：

1. 当 时，取 ，即若 ，则
2. 当 时，取 ，即若 ，则
3. 当 时，取 ，即若 ，则

常用结论2

若有一个函数 ，那么其函数值一定小于等于各分段表达式绝对值相加，即

重要不等式

1. 设均为实数，那么有 。

   以上不等式也可以推广为个实数的情形，即
   

3. 设 ，则

4. 若 ，则

7. 当 时，

8. 当 时，

压缩映射原理

原理一

对数列，若存在常数 ，使得 则收敛于.

原理二

对数列，若 可导，是 的唯一解，且对任意 ，有 ，则收敛于

常用结论3（绝对值与可导性的关系）

若在 处连续，同时 ，则 ，是在 处可导的充分必要条件。

常用结论4（绝对值的可导性）

1. 若，则在处不可导。
2. 若，则在处可导。

反函数的导数

反函数的一阶导数

设 为单调、可导的函数，且 ，则存在反函数 ，且 ，即 .

反函数的二阶导数

在 单调，且二阶可导的情况下，若 ，则存在反函数 ，记 ， ，则有

极值点的判断

必要条件

设在 处可导，且在点处取得极值，则必有 .

第一充分条件

设在 处连续，且在的某去心邻域 内可导.

1. 若 时， ，而 时， ，则在 处取得极小值.
2. 若 时， ，而 时， ，则在 处取得极大值.
3. 若在 和 内不变号，则点不是极值点.

第二充分条件

设在 处二阶可导，且 .

1. 若 ，则在处取得极大值.
2. 若 ，则在处取得极小值.

第三充分条件

设在 处阶可导，且 ，则

1. 当为偶数且 时，在处取得极大值.
2. 当为偶数且 时，在处取得极小值.

拐点的判断

必要条件

设存在，且点为曲线的拐点，则 .

第一充分条件

设在点 处连续，在点 的某去心邻域内二阶导数存在，且在该点的左、右邻域内变号，则点为曲线的__拐点__.

第二充分条件

设在 处三阶可导，且 ，则点为曲线的拐点.

第三充分条件

设在处阶可导，且 ，则当为奇数时，点为曲线的拐点.

极值点和拐点的重要结论

1. 曲线的可导点不可同时为极值点和拐点；曲线的不可导点可同时为极值点和拐点.

2. 设多项式函数 ，且 ，则当为偶数时， 是的极值点；当为奇数时，点是曲线的拐点.

3. 设多项式函数 ，其中是正整数，是实数且两两不等， .

   记为 的个数，为 且为偶数的个数，为 且为奇数的个数，则的极值点个数为 ，拐点的个数为 .

函数对称性判断

1. 若 或 ，则 关于 对称.
2. 若 或 ，则 关于 对称.
3. 若 ，则 关于点dui’ch

常见平面曲线

1. 心形线（外摆线的一种）

设 ，心形线的常见极坐标方程为

2. 星形线（内摆线的一种）

设 ，星形线可以表示为

3. 摆线（平摆线）

设 ，圆沿轴正方向滚动时，圆周上一点的轨迹为平摆线，其参数方程为

曲率

若我们分别用和来表示一个函数在某点的曲率和曲率半径，则有以下公式：

常用结论5（积分，函数，导数关系）

我们常已知积分，函数，导数中的一个或多个来推导其他，此时我们可以巧妙地运用一些已知的推论来找到两者之间的关系。

• ：使用定积分\积分中值定理
• ：使用拉格朗日中值定理
• ：使用泰勒公式

辅助函数构造

1. 乘积求导公式逆用
2. 商的求导公式逆用
   • ，故

常用结论6（罗尔定理及其推论）

若 至多有个根，则 至多有 个根

常用结论7（零点定理推广）

对于任意最高阶为奇次的方程 至少有一个实根

常用结论8（不定积分存在定理）

1. 连续函数必有原函数
2. 含有第一类间断点和无穷间断点的函数在包含该间断点的区间内比没有原函数
3. 含有振荡间断点的函数无法判断是否有原函数

积分中值定理

若函数在区间上连续，则至少存在一点 ，使

达布定理

在上可导，$f’+(a) \neq f’-(b)f’+(a)f’-(b)u\xi \in(a,b)f’(\xi) =u$

定积分精确定义

若将式中特殊化为这两个数，得出来的形式会更加简单：

定积分存在条件

充分条件

1. 若在上连续，则存在
2. 若在上单调，则存在
3. 若在上有界，且只有有限个间断点，则存在
4. 若在上有有限个第一类间断点，则存在

必要条件

可积函数必有界，即若定积分存在，则在上必有界

变限积分

函数在上连续，则函数 在上可导且

常用结论9（反常积分敛散性判断）