本文最后更新于 2026年10月25日 凌晨
基础30讲课后题错题
第一章
1.5
设函数 关于该函数的间断点，下列结论正确的是（ ）。
（A）不存在间断点
（B）存在间断点
（C）存在间断点
（D）存在间断点
1.10
设函数 若函数 在 处连续，则
1.11
设 画出 的图形。
1.12
求极限
1.14
已知极限 存在，求 的值。
第二章
2.3
求极限：
。
2.8
设 ， ，证明 存在，并求其值。
第三章
3.6
设 满足 ，且 存在，则 。
3.7
证明：
（1）若 在 （ ）连续，在 内可导，当 存在时，有 ；
（2）若 在 （ ）连续，在 内可导，当 存在时，有 。
3.9
设 ， 在 上有定义， ，且满足 ，证明： 在 处可导，并求 。
第四章
4.5
设函数 在 的某邻域内具有任意阶导数，且 ， ，则当 时， 。
4.6
设 是由方程 确定的隐函数，求 的值。
4.7
已知 在 处二阶可导，且 ，设 ，证明： 的导函数在 处连续。
第五章
5.1
设函数 ， 具有二阶导数，且 。若 是 的极值，则 在 取极大值的一个充分条件是（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
5.5
曲线 的拐点坐标为 。
5.7
曲线 的斜渐近线方程为 。
第六章
6.1
设常数 ，函数 在 内的零点个数为（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
6.2
若函数 在 内处处连续，则常数 的取值范围为（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
6.4
设函数 在 上连续，在 内可导，且 ，证明：
（1）存在 ，使 ；
（2）存在 ，使 。
6.6
已知 在 上连续，在 内可导，且 ， 。证明：
（1）存在 ，使得 ；
（2）存在 ， ，使得 。
6.8
设 在 上具有二阶导数，且满足条件 ， ，其中 都是非负常数， 是 内任意一点。
（1）写出 在点 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；
（2）证明 。
第七章
7.1
（仅数学一、数学二）质点 沿抛物线 移动， 的横坐标 对时间的变化率为 。当 时，点 到原点 的距离对时间的变化率为 。
7.3
（仅数学一、数学二）甲车以 的速度向北行驶，同时正东 处乙车以 的速度向东行驶。从这一时刻起经过 小时后，求两车间的距离对时间的变化率。
第八章
8.1
设 ， ，则（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
8.3
若反常积分 收敛，则（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
8.5
求 。
8.7
讨论 的敛散性，其中 为任意实数。
第九章
9.5
。
9.6
。
9.7
计算 （ 是大于 的常数）。
9.9
求 。
9.11
计算 。
9.12
计算 。
9.13
求 。
9.15
设 ，求 。
9.16
求连续函数 ，使它满足 。
第十章
10.4
星形线 ， （ ）的弧长为 。
10.5
函数 在区间 上的平均值为 。
10.6
求曲线 的一条切线 ，使该曲线与切线 及直线 ， 所围成图形的面积最小。
10.8
计算由摆线 （ ， ）与 轴所围平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积。
10.9
求曲线 与 轴围成的封闭图形绕直线 旋转一周所得旋转体的体积。
第十一章
11.4
设 在 上连续且严格单调增加，证明： 。
11.6
设 在区间 上有二阶导数，且 ， ，证明： 。
第十二章
12.3
有一半径为 的半球形水池蓄满了水，现在要将水全部抽到距水池原水面 高的水箱中，求需做多少功。（水的密度 ，重力加速度 ， ）
第十三章
13.9
设 由 确定，则 ______。
13.10
设 ，其中 有一阶连续偏导数，求 ，，。
13.11
设函数 具有一阶连续偏导数，又函数 ， 分别由 ， 确定，求 。
13.13
已知函数 满足 ， ， ，求 的极值。
第十四章
14.6
设 为连续函数， ，则 ______。
14.10
计算二重积分 ，其中 。
第十五章
15.2
已知 ， ， 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程满足 ， 的特解为______。
15.6
微分方程 的通解为______。
15.9
已知 是某二阶非齐次线性微分方程的特解， 是对应二阶齐次线性微分方程的特解，求此非齐次线性微分方程。
15.10
设函数 在 上连续，且满足方程 ，求 。
15.12
设函数 具有二阶导数，且曲线 与直线 相切于原点。记 为曲线 在点 处切线的倾角，若 ，求 的表达式。
15.13
设函数 可导，且 。曲线 （ ）经过坐标原点 ，其上任意一点 处的切线与 轴交于 ，又 垂直 轴于点 。已知由曲线 ，直线 以及 轴所围图形的面积与 的面积之比恒为 ，求满足上述条件的曲线的方程。
第十六章
16.7
设 则其以 为周期的傅里叶级数在 处收敛于______。
16.9
设正项数列 单调减少，且 发散，试问级数 是否收敛？并说明理由。
16.10
判别 的敛散性（ ）。
16.14
求级数 的和。
16.17
将幂级数 的和函数展开成 的幂级数。