本文最后更新于 2026年10月25日 凌晨
1000题课后错题
基础篇
第一章
2
设函数 在 内有定义，在区间 上， 若对任意的 都满足 写出 在 上的表达式。
4
设函数 在 上满足 且 求 在 上的表达式。
6
下列选项中，极限存在的是（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
12
求极限
13
已知 则
14
求极限
17
函数 在 处的三次泰勒多项式为
20
设 若 在 上连续，则
21
函数 的可去间断点的个数为（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
第二章
2
求极限。
4
设 ，且 ，且 。证明 存在，并求此极限。
5
当 时，求。
6
求。
12
设单调递减数列 满足 ， ， ，且 是方程 的唯一非零解。证明 收敛。
第三章
4
设 在 处可导，且 ，则 。
6
设可导函数 ，则 。
12
设 在 处可导， ，则 。
13
设 为在 处可导的奇函数，则 。
15
设 ，求 并讨论 的连续性及可导性与 的关系。
第四章
3
设函数 可导， ， ，若 ，则 。
8
设函数 由 所确定，则在 内（ ）。
（A） 连续， 不存在
（B） 存在， 在 处不连续
（C） 连续， 不存在
（D） 存在， 在 处不连续
9
设可导的奇函数 满足 ，且 ，则 。
11
已知函数 ，则当 时， 。
12
设 ，则 。
18
设 ，则 。
（A）
（B）
（C）
（D）
第五章
2
若函数 的极值点小于零，则常数 的取值范围为 。
4
已知 （ ）恒成立，则 的取值范围为 。
5
已知函数 连续，其二阶导函数的图像如图所示，则曲线 的拐点个数为（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
10
已知曲线 在其点 处的曲率圆方程为 ，且当 时，二阶可导函数 与 的差为 ，则（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
11
设在 内， ， ，则函数 （ ）。
（A）在 内单调减少，在 内单调增加
（B）在 和 内单调减少
（C）在 内单调增加，在 内单调减少
（D）在 和 内单调增加
15
曲线 （ ）。
（A）有铅直渐近线，也有斜渐近线
（B）有水平渐近线，也有斜渐近线
（C）有且仅有铅直渐近线
（D）有且仅有水平渐近线
16
设函数 在 上可导， ， 严格单调递增，则对任意 ，有（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
17
已知函数 对一切 满足 ，若 （ ），则（ ）。
（A） 是 的极小值点
（B） 是 的极大值点
（C） 是曲线 的拐点
（D）以上结论均不正确
23
曲线 的渐近线条数为（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
第六章
1
设函数 ，则方程 的实根个数为（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
5
设存在 ，使得 ， ，则 。
12
（1）将 在 处展开成一阶带拉格朗日余项的泰勒公式；
（2）证明 ， 。
13
求曲线 与曲线 的交点个数。
18
设 ， ，证明 。
20
设 在 上连续，在 内可导（ ），证明：在 内 至少有一个实根。
22
设函数 在 上可导， ，证明：
（1）存在一点 ，使得 ；
（2）存在一点 ，使得 且 。
第七章
1
一动点 在曲线 上运动，设坐标轴的单位长度是 ，若点 横坐标的变化率是 ，则当点 经过点 时，点 到原点距离的变化率为 。
4
已知某圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 ，，且圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为 ，，则圆柱体的底面半径与高分别为（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
第八章
1
设函数 在区间 上连续，则 （ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
4
设 ， ， ，则（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
18
定积分 的值满足（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
20
设 ， ， ，则有（ ）。
（A）
（B）
（C）
（D）
21
设 为常数， 收敛，则（ ）。
（A） 且
（B） 且
（C） 且
（D） 且
23
下列命题中不成立的是（ ）。
（A）若 连续， ，则 必为 的原函数
（B）若 可积， ，则 在 内存在原函数
（C）若 连续，且为奇函数， ，则
（D）若 连续， 为其周期，则
第九章
1
计算下列不定积分
(15) ；
(16) ；
(17) ；
(18) ；
(20) ；
(23) ；
(24) 。
2
计算不定积分 。
3
计算不定积分 。
4
计算不定积分 。
6
______。
7
______。
10
设 ，则 ______。
14
若连续周期函数 （不恒为常数）对任何 恒有 成立，则 的周期是（ ）。
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
15
设 在 上是连续的偶函数， ， ，则在 上（ ）。
(A) 是单调递增函数
(B) 是单调递减函数
(C) 是偶函数
(D) 是奇函数
16
若 ，则 （ ）。
(A)
(B)
(C)
(D)
17
若函数 ，则 （ ）。
(A)
(B)
(C)
(D)
18
已知函数 ，则 ______。
20
设 ，则 ______。
24
______。
25
______。
26
______。
28
______。
32
______。
33
______。
34
设 满足 ， ，则 ______。
35
______。
36
设 ，求 的表达式。
第十章
7
已知函数 ，则 在 上的平均值为______。
8
已知曲线 ，设 是 上的动点， 是 上从点 到点 的一段弧绕 轴旋转一周所得的旋转体体积，当 运动到点 时，沿 轴正向的速度为 ，求此时 关于时间 的变化率。
9
曲线 的弧长为______。
13
曲线 绕 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积为______。
14
曲线 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积为______。
15
曲线 的长度为______。
16
设平面 是由 ， ， 围成的第一象限的有界区域，记 绕 轴与绕 旋转一周所得旋转体的体积分别为 ，，则（ ）。
(A)
(B)
(C)
(D)
17
曲线 从点 到点 的一段弧绕 轴旋转一周所得旋转体的侧面积为______。
第十一章
2
设函数 具有二阶导数， ， ，记 ， ，则（ ）。
(A)
(B)
(C)
(D)
3
设 为连续函数， ，证明： 以 为周期的充分必要条件是任给常数 ， 为常数。
5
设 ， 连续， ，证明至少存在一点 ，使 。
6
证明： 。
9
设 在 上连续， ，证明：当 时， 。
11
设 ，证明：当 时，有 。
第十二章
2
边长为 的正方形平板置于水面下，且一个顶点与水面相齐，其中一条对角线与水面垂直，如图所示。记水的密度为 ，重力加速度为 ，则其一侧所受的静水压力为______。
5
在一个高为 的圆柱形容器内储存某种液体，并将容器横放，底面圆的方程为 （单位：m）。如果容器内存满了液体后，以 的速率将液体从容器顶端抽出。
(1) 当液面在 时，求液面下降的速率；
(2) 如果 液体所受重力为 ，求抽完全部液体需做多少功？
7
直角三角板的斜边长度为 ，将该直角三角板竖直插入水中，并使其中一个直角边与水面齐平，当三角板受到水的压力最大时，其水平直角边的长度为（ ）。
(A)
(B)
(C)
(D)
第十三章
5
设 ，则 ______。
8
设 ，则 ______。
9
设函数 ，求 。
11
设 可导， 由方程 所确定，其中函数 连续， 有连续导数，且 ，则 ______。
12
设 具有二阶连续偏导数，且 ，则 ______。
16
设函数 具有二阶连续偏导数，作变量代换 ， ，将方程 化为以 为自变量的方程。
17
设函数 由方程 确定，且 具有连续偏导数，求 。
18
设 在有界闭区域 上连续，在 内有一阶偏导数。若 在 的边界 上的值均为 ，且 ，则 （ ）。
(A) 在 内有正的最大值
(B) 在 内有负的最小值
(C) 只在 的边界 上取到最大值
(D) 在 的边界 上可以取到最小值
19
设 在平面有界闭区域 上具有二阶连续偏导数，且满足 与 ，则（ ）。
(A) 的最小值点和最大值点都在 的内部
(B) 的最小值点和最大值点都在 的边界上
(C) 的最小值点在 的内部，最大值点在 的边界上
(D) 的最大值点在 的内部，最小值点在 的边界上
21
求函数 的极值。
22
求函数 的极值。
24
求曲线 上的点到原点距离的最大值和最小值。
第十四章
5
______。
9
设函数 连续，且 ，则 。
(A)
(B)
(C)
(D)
12
已知 ， ，则 ______。
13
设平面区域 由曲线 与直线 及 轴所围成，计算二重积分 。
15
设 是由 及 围成的有界区域，计算二重积分 。
18
计算 。
20
设平面区域 ，计算 。
22
计算二重积分 ，其中 。
24
计算 ，其中 为圆 所包围的在第一象限内的区域。
第十五章
2
已知曲线上任一点的切线在 轴上的截距与法线在 轴上的截距之比为 ，则该曲线方程为______。
3
设 是一阶非齐次线性微分方程 的两个特解，若常数 使 是该方程的解， 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）。
(A)
(B)
(C)
(D)
6
微分方程 的通解为______。
7
设函数 是微分方程 满足 的解。
(1) 求 的表达式；
(2) 求曲线 的斜渐近线。
8
以 面上的平面曲线段 （ ）绕 轴旋转一周所成旋转曲面与 面围成一个无上盖容器（见图），现以 的速率把水注入容器内，水面的面积以 的速率增大。已知容器底面积为 ，求曲线 的方程。
11
设函数 满足方程 和条件 ，求曲线 在 上的平均值。
18
已知 ， ， 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则此微分方程为______。
19
求微分方程 的通解。
第十六章
1
设 为常数，若级数 与 均收敛，则（ ）。
(A)
(B)
(C)
(D)
2
判断级数 的敛散性。
3
设 是常数，则 （ ）。
(A) 发散
(B) 条件收敛
(C) 绝对收敛
(D) 敛散性与 有关
12
______。
13
______。
16
设函数 的幂级数展开式为 ， ，求 。
18
设 ，若 ， ，则 ______。
19
已知 ， 。
(1) 将 展开成余弦级数；
(2) 求 。